פתרון שאלות גלים ואלקטרונים באטומים

נוסחאות ומושגים חשובים

משוואת הקשר בין מהירות האור, תדירות ואורך גל

כאשר: c - מהירות האור, λ - אורך גל, ν - תדירות

אפקט פוטואלקטרי

כאשר: h - קבוע פלאנק, ν - תדירות, λ - אורך גל

משוואת דה-ברולי

כאשר: h - קבוע פלאנק, m - מסה, v - מהירות

נוסחת בוהר לאנרגיה

כאשר: $R_H$ - קבוע רידברג, $n_f$ - רמה סופית, $n_i$ - רמה התחלתית

שאלה 1: אפקט פוטואלקטרי בפלטינה

תדירות הסף של האור שפוגע בפלטינה ויוציא ממנה אלקטרון היא $1.3×10^{15}$ sec⁻¹.

א. מהו אורך הגל המתאים לתדירות זו מבוטא ב-Å, ננומטר ופיקומטר?

פתרון:

1. נשתמש במשוואת הקשר בין מהירות האור, תדירות ואורך גל:

   \[c = λν\] \[λ = \frac{c}{ν} = \frac{3 × 10^8}{1.3 × 10^{15}} = 2.3 × 10^{-7} \text{ m}\]

2. המרת יחידות:

   • $2.3 × 10^{-7}$ m = 2307.69 Å
   • $2.3 × 10^{-7}$ m = 230 nm
   • $2.3 × 10^{-7}$ m = 230,769.2 pm

ב. מה יקרה כשיקרינו את המתכת באור בעל אורך גל של 2000Å?

פתרון:

1. נחשב את תדירות האור הפוגע:

   \[λ = 2000\text{Å} = 2 × 10^{-7} \text{ m}\] \[ν = \frac{c}{λ} = \frac{3 × 10^8}{2 × 10^{-7}} = 1.5 × 10^{15} \text{ Hz}\]

2. השוואה לתדירות הסף:

   • תדירות האור הפוגע: $1.5 × 10^{15}$ Hz
   • תדירות הסף: $1.3 × 10^{15}$ Hz
   • $1.5 × 10^{15} > 1.3 × 10^{15}$

תשובה: מכיוון שתדירות האור הפוגע גדולה מתדירות הסף, ייפלטו אלקטרונים מהמתכת.

ג. מה תהיה האנרגיה של אלקטרון שיפלט?

פתרון:

1. נחשב את אנרגיית הפוטון הפוגע:

   \[E_{\text{photon}} = \frac{hc}{λ} = \frac{(6.626 × 10^{-34})(3 × 10^8)}{2 × 10^{-7}} = 9.939 × 10^{-19} \text{ J}\]

2. נחשב את אנרגיית הסף:

   \[E_{\text{threshold}} = hν_0 = (6.626 × 10^{-34})(1.3 × 10^{15}) = 8.614 × 10^{-19} \text{ J}\]

3. נחשב את האנרגיה הקינטית של האלקטרון:

   \[E_k = E_{\text{photon}} - E_{\text{threshold}} = 9.939 × 10^{-19} - 8.614 × 10^{-19} = 1.325 × 10^{-19} \text{ J}\]

תשובה: האנרגיה הקינטית של האלקטרון היא $1.325 × 10^{-19}$ J.

ד. מה תהיה מהירות האלקטרון?

פתרון:

נשתמש במשוואת האנרגיה הקינטית:

תשובה: מהירות האלקטרון היא $5.39 × 10^5$ m/s.

שאלה 2: מעבר אלקטרונים באטום מימן

חשבו את האנרגיה המשתחררת במעבר אלקטרון מרמה 3 לרמה 2 באטום מימן.

פתרון:

1. נשתמש בנוסחת האנרגיה של בוהר:

   \[ΔE = R_H\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)\]

   כאשר:

   • $R_H = 2.179 × 10^{-18}$ J (קבוע רידברג)
   • $n_i = 3$ (רמה התחלתית)
   • $n_f = 2$ (רמה סופית)

2. נציב במשוואה:

   \[ΔE = 2.179 × 10^{-18}\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) = 2.179 × 10^{-18}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right)\] \[= 2.179 × 10^{-18}\left(\frac{9-4}{36}\right) = -3.028 × 10^{-19} \text{ J}\]

תשובה: האנרגיה המשתחררת היא $3.028 × 10^{-19}$ J. הסימן השלילי מציין שאנרגיה נפלטת במעבר.

א. מהי תדירות האור הנפלט במעבר אלקטרוני זה? האם תדירות זו בתחום הנראה לעין האנושית?

פתרון:

1. נחשב את התדירות:

   \[ν = \frac{|ΔE|}{h} = \frac{3.028 × 10^{-19}}{6.626 × 10^{-34}} = 4.57 × 10^{14} \text{ Hz}\]

2. נבדוק אם זה בתחום הנראה על ידי חישוב אורך הגל:

   \[λ = \frac{c}{ν} = \frac{3 × 10^8}{4.57 × 10^{14}} = 656.5 \text{ nm}\]

תשובה: התדירות היא $4.57 × 10^{14}$ Hz, ואורך הגל 656.5 nm נמצא בתחום האור הנראה (380-750 nm). זהו למעשה קו H-alpha באור הנראה בצבע אדום.

ב. מהו רדיוס בור עבור הרמות 2 ו-3?

פתרון:

נשתמש בנוסחת רדיוס בור: $r = n^2 × 0.529$ Å

• עבור רמה 2: $r_2 = 2^2 × 0.529 = 2.116$ Å
• עבור רמה 3: $r_3 = 3^2 × 0.529 = 4.761$ Å

תשובה:

• רדיוס ברמה 2: 2.116 Å
• רדיוס ברמה 3: 4.761 Å

שאלה 3: מודל בוהר לאטומים דמויי מימן

נוסחת בור לאטום מימן טובה גם עבור אטומים חד אלקטורניים, כדוגמת $\ce{He+}$ ו $\ce{Li^{2+}}$. נוסחת בור $E_n = -\frac{Z^2R_H}{n^2}$ מתאימה לאטומים כאלה, כאשר Z הוא מספר הפרוטונים בגרעין, כלומר מספר אטומי.

א) חשב את אורך הגל של המעבר בין רמת האנרגיה n=1 לרמת האנרגיה n=3 עבור אטום $\ce{He+}$

ב) חשב את אורך הגל של המעבר בין רמת האנרגיה n=2 לרמת האנרגיה n=4 עבור אטום $\ce{Li^{2+}}$

ג) מהו הרדיוס (ביחידות של פיקומטר pm) של אלקטרון ברמת האנרגיה n=3 באטום מימן?

ד) האם תיתכן עבור אטום $\ce{Li^{2+}}$ רמת אנרגיה שערכה $-1.961×10^{-17}$ J

א. חישוב אורך הגל של המעבר n=1 → n=3 עבור אטום $\ce{He+}$

פתרון:

1. נחשב את הפרש האנרגיה באמצעות נוסחת בוהר:

   \[\Delta E = -\frac{Z^2R_H}{n_f^2} + \frac{Z^2R_H}{n_i^2}\]

   $Z = 2$ (עבור הליום)

   \[\Delta E = -\frac{4 × 2.179×10^{-18}}{3^2} + \frac{4 × 2.179×10^{-18}}{1^2}\] \[= -0.968×10^{-18} + 8.716×10^{-18} = 7.748×10^{-18} \text{ J}\]

2. נחשב את אורך הגל באמצעות הקשר $E = \frac{hc}{\lambda}$:

   \[\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.626×10^{-34})(3×10^8)}{7.748×10^{-18}} = 25.7×10^{-9} \text{ m} = 25.7 \text{ nm}\]

תשובה: אורך הגל של המעבר הוא 25.7 ננומטר.

ב. חישוב אורך הגל של המעבר n=2 → n=4 עבור אטום $\ce{Li^{2+}}$

פתרון:

1. נחשב את הפרש האנרגיה: $Z = 3$ (עבור ליתיום)

   \[\Delta E = -\frac{9 × 2.179×10^{-18}}{4^2} + \frac{9 × 2.179×10^{-18}}{2^2}\] \[= -1.228×10^{-18} + 4.903×10^{-18} = 3.675×10^{-18} \text{ J}\]

2. נחשב את אורך הגל:

   \[\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{(6.626×10^{-34})(3×10^8)}{3.675×10^{-18}} = 54.1×10^{-9} \text{ m} = 54.1 \text{ nm}\]

תשובה: אורך הגל של המעבר הוא 54.1 ננומטר.

ג. חישוב רדיוס האלקטרון ברמה n=3 באטום מימן

פתרון:

נשתמש בנוסחת רדיוס בוהר:

$Z = 1$ (עבור מימן)

תשובה: הרדיוס הוא 476.1 פיקומטר.

ד. בדיקת אפשרות רמת אנרגיה $-1.961×10^{-17}$ J עבור $\ce{Li^{2+}}$

פתרון:

נציב בנוסחת האנרגיה ונחפש את n:

תשובה: כן, זו רמת האנרגיה של המצב היסודי (n=1) של אטום $\ce{Li^{2+}}$.

שאלה 4: משוואת דהברולי

א) מהו אורך הגל הנלווה למולקולת חמצן הנעה במהירות 444 מטר לשניה?

א. מהו אורך הגל הנלווה למולקולת חמצן הנעה במהירות 444 מטר לשניה?

פתרון:

1. נחשב את מסת מולקולת חמצן בודדת: המסה המולרית של $\ce{O2}$ היא 32 גרם/מול

   \[m_{\ce{O2}} = \frac{32 × 10^{-3}}{6.022 × 10^{23}} = 5.32 × 10^{-26} \mathrm{ kg}\]

2. נציב במשוואת דה-ברולי:

   \[λ = \frac{h}{mv} = \frac{6.626 × 10^{-34}}{(5.32 × 10^{-26})(444)} = 2.81 × 10^{-11} \mathrm{ m}\]

תשובה: אורך הגל של מולקולת החמצן הוא $2.81×10^{-11}$ מטר.

הערה: אורך גל זה הוא מיקרוסקופי מאוד, כמצופה עבור חלקיק בעל מסה מקרוסקופית כמו מולקולת חמצן.

ב. מהו אורך הגל הנלווה למכונית שמשקלה 1043 ק”ג הנעה במהירות 27 מטר לשניה?

פתרון:

נציב ישירות במשוואת דה-ברולי:

תשובה: אורך הגל של המכונית הוא $2.35×10^{-38}$ מטר.

הערה: אורך גל זה הוא קטן באופן קיצוני, עד כדי כך שאין לו משמעות פיזיקלית מעשית. זה ממחיש מדוע איננו מבחינים בתופעות גליות עבור עצמים מקרוסקופיים.

ג. מה מהירות מולקולת המימן שאורך הגל הנלווה לתנועתה הוא $1.12×10^{-10}$ מטר?

פתרון:

1. נחשב את מסת מולקולת מימן: המסה המולרית של $\ce{H2}$ היא 2 גרם/מול

   \[m_{\ce{H2}} = \frac{2 × 10^{-3}}{6.022 × 10^{23}} = 3.32 × 10^{-27} \text{ kg}\]

2. נפתור את משוואת דה-ברולי עבור המהירות:

   \[v = \frac{h}{mλ} = \frac{6.626 × 10^{-34}}{(3.32 × 10^{-27})(1.12 × 10^{-10})} = 1782 \mathrm{ m/s}\]

תשובה: מהירות מולקולת המימן היא 1782 מטר/שניה.

הערות חשובות

1. כל החישובים נעשו בדיוק מרבי עם כל הספרות המשמעותיות.
2. בכל שלב הוצגו יחידות המידה המתאימות.
3. הפתרונות כוללים הסברים מילוליים לכל שלב בחישוב.
4. ניתנו תשובות סופיות ברורות עם יחידות מתאימות.