מהו מעגל היחידה?
מעגל היחידה הוא מעגל שרדיוסו 1 יחידה ומרכזו בראשית הצירים $(0,0)$. הוא מהווה כלי יסודי בהבנת פונקציות טריגונומטריות והתנהגותן.
בכל נקודה $(x,y)$ על מעגל היחידה:
- הקואורדינטה $x$ שווה ל-$\cos(\theta)$
- הקואורדינטה $y$ שווה ל-$\sin(\theta)$
- היחס ביניהם $\frac{y}{x}$ שווה ל-$\tan(\theta)$
כאשר $\theta$ היא הזווית (במידת רדיאן) הנמדדת מהציר החיובי $x$ נגד כיוון השעון.
למה משתמשים ברדיאנים?
רדיאן מוגדר כיחס בין אורך הקשת לרדיוס המעגל. במעגל היחידה, שרדיוסו 1, יש לנו:
- $2\pi$ רדיאנים = סיבוב שלם = $360°$
- $\pi$ רדיאנים = חצי סיבוב = $180°$
- $\frac{\pi}{2}$ רדיאנים = רבע סיבוב = $90°$
רדיאנים הם יחידת המידה הטבעית למעגל היחידה, כי הם מבטאים ישירות את אורך הקשת על המעגל. כאשר הרדיוס הוא 1, אורך הקשת שווה בדיוק למידת הזווית ברדיאנים.
הידעת? השימוש ברדיאנים מפשט משמעותית את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות: \(\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\) \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)
הדגמה חזותית
ערכי פונקציות טריגונומטריות בזוויות מיוחדות
| זווית (רדיאנים) | זווית (מעלות) | $\sin(\theta)$ | $\cos(\theta)$ | $\tan(\theta)$ |
|---|---|---|---|---|
| $0$ | $0°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $\frac{\pi}{6}$ | $30°$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $\frac{\pi}{4}$ | $45°$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $1$ |
| $\frac{\pi}{3}$ | $60°$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\frac{\pi}{2}$ | $90°$ | $1$ | $0$ | לא מוגדר |
| $\pi$ | $180°$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\frac{3\pi}{2}$ | $270°$ | $-1$ | $0$ | לא מוגדר |
| $2\pi$ | $360°$ | $0$ | $1$ | $0$ |
ניתן לזכור את הערכים של $\sin$ ו-$\cos$ באמצעות המשולשים המיוחדים:
- לזווית $30°$: משולש $30°-60°-90°$ עם יחסי צלעות $1:\sqrt{3}:2$
- לזווית $45°$: משולש $45°-45°-90°$ עם יחסי צלעות $1:1:\sqrt{2}$
זהויות טריגונומטריות בסיסיות
מעגל היחידה מדגים מספר זהויות חשובות:
\[\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\]זהות זו נובעת ישירות ממשוואת מעגל היחידה $x^2 + y^2 = 1$, כאשר $x = \cos(\theta)$ ו-$y = \sin(\theta)$.
\[\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]זהות זו מייצגת את היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה במשולש ישר זווית.
נוסחאות מרובעיות
\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)\]סיכום
מעגל היחידה הוא כלי רב עוצמה להבנת פונקציות טריגונומטריות וזהויותיהן. הוא מאפשר לנו:
- לראות את תקופתיות הפונקציות ($2\pi$ לסינוס וקוסינוס, $\pi$ לטנגנס)
- להבין את התחום וטווח הפונקציות
- להמחיש זהויות טריגונומטריות מורכבות
- לחשב בקלות ערכים בזוויות מיוחדות