מעגל היחידה והפונקציות הטריגונומטריות

מהו מעגל היחידה?

מעגל היחידה הוא מעגל שרדיוסו 1 יחידה ומרכזו בראשית הצירים $(0,0)$. הוא מהווה כלי יסודי בהבנת פונקציות טריגונומטריות והתנהגותן.

בכל נקודה $(x,y)$ על מעגל היחידה:

כאשר $\theta$ היא הזווית (במידת רדיאן) הנמדדת מהציר החיובי $x$ בכיוון נגד כיוון השעון.

רדיאן מוגדר כיחס בין אורך הקשת לרדיוס המעגל. במעגל היחידה, שרדיוסו 1, יש לנו:

רדיאנים הם יחידת המידה הטבעית למעגל היחידה, כי הם מבטאים ישירות את אורך הקשת על המעגל. כאשר הרדיוס הוא 1, אורך הקשת שווה בדיוק למידת הזווית ברדיאנים.

הידעת? השימוש ברדיאנים מפשט משמעותית את הנגזרות של פונקציות טריגונומטריות: $\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$ $\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$

זווית (רדיאנים):

sin(θ) = 0

cos(θ) = 1

tan(θ) = 0

θ (רדיאנים) = 0

זווית (רדיאנים)	זווית (מעלות)	$\sin(\theta)$	$\cos(\theta)$	$\tan(\theta)$
$0$	$0°$	$0$	$1$	$0$
$\frac{\pi}{6}$	$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{\pi}{4}$	$45°$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$1$
$\frac{\pi}{3}$	$60°$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi}{2}$	$90°$	$1$	$0$	לא מוגדר
$\pi$	$180°$	$0$	$-1$	$0$
$\frac{3\pi}{2}$	$270°$	$-1$	$0$	לא מוגדר
$2\pi$	$360°$	$0$	$1$	$0$

ניתן לזכור את הערכים של $\sin$ ו-$\cos$ באמצעות המשולשים המיוחדים:

מעגל היחידה מדגים מספר זהויות חשובות:

\[\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\]

זהות זו נובעת ישירות ממשוואת מעגל היחידה $x^2 + y^2 = 1$, כאשר $x = \cos(\theta)$ ו-$y = \sin(\theta)$.

\[\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]

זהות זו מייצגת את היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה במשולש ישר זווית.

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta)\]

מעגל היחידה הוא כלי רב עוצמה להבנת פונקציות טריגונומטריות וזהויותיהן. הוא מאפשר לנו: