להלן פתרונות שלי לבוחן מג׳ונרט שהועלה לתרגול. הדף עדיין בעבודה.
שאלה 3-1: טבעת ״פגומה״ (סופרפוזיציה וסימטריה)
נתונה טבעת דקה מחומר מבודד ברדיוס $R$, המונחת במישור $xy$ ומרכזה בראשית הצירים. הטבעת טעונה בצפיפות מטען אורכית אחידה וחיובית $\lambda$. מחסירים (חותכים החוצה) מהטבעת קשת קטנה מאוד באורך $L (L \ll R)$ הנמצאת בדיוק בראש הטבעת (על צירך ה-$y$ החיובי, בנקודה $(0,R)$).
1. מהו כיוון וגודל השדה החשמלי בראשית הצירים (מרכז הטבעת)?
משיקולי סימטרייה כל המטענים מתאפסים למעט המטען מכיוון מטה, שכעת יכול לצאת דרך הקשת העליונה שהחסרנו (זה כמו להוסיף מטען הפוך).
אפשר אולי לחשב מסופר פוזיציה.
ברגיל זה אפס. כדי לחשב את השדה החשמלי של המטען שהוספנו (החסרנו) ניעזר בדף הנוחסאות.
הנוסחה לחישוב שדה חשמלי של מטען נקודתי היא:
\[\vec{E} = \frac{kq_1}{r^2}\hat{r}\]או בצורה סקלרית בלי וקטור הכיוון.
במקרה הזה הכיוון הוא במעלה ציר $\hat{y}$.
המטען שלנו מתקבל בעזרת הנוסחה לחישוב מטען נקודתי:
\[\lambda = \frac{q}{\ell} \implies q = \lambda \cdot L\]סך הכל:
\[\boxed{\vec{E} = \frac{k \lambda L}{R^2} \hat{y}}\]כלפי מעלה.
מהו הפוטנציאל החשמלי בראשית הצירים?
הניחו ש $L$ קטן מאוד כך שהמטען הכולל כמעט לא השתנה, או חשבו במדויק $Q_{\text{tot}} = \lambda (2 \pi R - L)$.
הנוסחה של פוטנציאל מטען נקודתי היא:
\[V = \frac{kq}{r}\]נציב את הרמז $Q_{\text{tot}} = \lambda (2 \pi R - L)$. אפשר לקבל אותו מהנוסחה של צפיפות מטען אורכית $(q=\lambda \cdot L)$: במקור האורך היה שני פאי אר אבל הורדנו ממנו קשת באורך $L$.
\[V = \frac{kQ_{tot}}{R} = \frac{k\lambda(2\pi R - L)}{R}\]אם $L \ll R$, אפשר לקרב ל-$V \approx \frac{2\pi k\lambda R}{R} = 2\pi k\lambda$
הערה: בפתרון הרשמי פתרו בעזרת אינטגרל. להבנתי ניתן להשתמש כאן בנוסחה ישירות בגלל המערכת בשאלה.
מניחים אלקטרון (מטען $-e$) במנוחה במרכז הטבעת. לאן הוא ינוע מיד לאחר השחרור?
לדעתי למטה - יתרחק מהמטען השלילי שכאילו הוספנו מעליו.
פורמאלית, זה נובע מהכוח שפועל על מטען בשדה חשמלי:
\[\vec{F} = q \vec{E}\]השדה במרכב הוא כאמור
\[\boxed{\vec{E} = \frac{k \lambda L}{R^2} \hat{y}}\]כלפי מעלה.
לאלקטרון מטען שלילי אז הוא יהיה בכיוון הפוך - כלפי מטה (לכיוון מינוס וואי).
שאלות 5-4: מוליכים מחוברים (השוואת פוטנציאלים)
שתי קליפות כדוריות מוליכות נמצאות רחוק מאוד זו מזו (ניתן להזניח השפעה הדדית). רדיוס הקליפה הראשונה $R_1 = R$ והיא טעונה במטען $Q$. רדיוס הקליפה השנייה $R_2 = 3R$ והיא ניטרלית (מטען 0). מחברים את שתי הקליפות באמצעות תיל מוליך דק וארוך.
מהו המטען הסופי $q_1$ שיישאר על הקליפה הקטנה $(R)$?
מהו הפוטנציאל המשותף של שתי הקליפות לאחר החיבור (ביחס לאינסוף)?
שאלות 7-6: קובייה חסרה (גיאומטריה וסופרפוזיציה)
נתונה קבוייה דמיונית שאורך צלעה $d$. ב-7 מתוך 8 קודקודי הקובביה מקובעים מטענים חיוביים זהים $+q$. הקודקוד השמיני (נניח בראשית הצירים) ריק.
מהו גודל השדה החשמלי במרכז הקובביה?
מהי האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית הדרושה כדי להביא מטען נוסף $+q$ מאינסוף ולהושיב אותו בקודקוד השמיני הריק (כך שתושלם קובייה מלאה)?
נתון עזר: הפוטנציאל שיוצרת קובייה מלאה של 8 מטענים במרכזה הוא $V_{center}$. זה לא עוזר כאן. חישבו על סכום הפוטנציאלים בקוקוד הריק. נתון כי המקדם הגיאומטרי $\alpha = \right(3 + \frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\left) \approx 5.7$.
שאלות 9-8: מוט עם צפיפות משתנה (אינטגרציה)
מוט מבודד באורך $L$ מונח על ציר $x$ בין הנקודה $x=0$ ל-$x=L$. צפיפות המטען האורכית של המוט משתנה לפי הנוסחה: $\lambda(x) = A \cdot x^2$ (כאשר A קבוע חיובי).