השאלות לא בהכרח מופיעות לפי הסדר הנכון שלהן או בכלל לפי הנוסח הנכון שלהן. הדברים נכתבו מהזיכרון וללא אחריות. לתיקונים או לפניות מוזמנים ליצור קשר, אפשר גם לשלוח פנייה דרך האתר.
שאלה 1: למשוואה $2^{\cos^2(x)} - 2^{\sin^2(x)} = 1$
יש אינסוף פתרונות ממשיים מהצורה:
\[x \in \left\{\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}\]אפשר למשל להיעזר ב $\ln$.
שאלה 2: הביטוי $y(x)=\sin^2\left(\arctan(\frac{1}{x})\right)$
שקול לביטוי $y(x)=\frac{1}{1+x^2}$.
הגעתי לזה בעזרת פסילת תשובות והצבת ערכים מהראש.
הצבתי למשל $x=0$, אז:
\[y(0) = \sin^2\left(\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right) \rightarrow \sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\]באופן דומה הצבתי $x=\infty$:
\[y(\infty) = \sin^2\left(\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right) \rightarrow \sin^2\left(0\right) = 0\]אפשר גם להגיע לתוצאה מפישוט ישיר דרך זהויות.
הצגת פולינום בחזקות של $(x-1)$
\[P(x)=x^4+x^3+x^2+x\]פיתחתי לטור חזקות סביב $x_0=1$:
\[P(x)=(x-1)^4+5(x-1)^3+10(x-1)^2+10(x-1) + 4\]עקרונית היה אפשר גם לפסול תשובות במהריות, למשל לזהות את התשובה לפי המקדם של $x^4$.
לפונקציה $f(x)=4\ln x^2-4\ln(x-3)?$
אני לא בטוח מה בדיוק הייתה הפונקציה, כן מצאתי שיש פיתול משופע בנקודה $x_0=e^{\frac{3}{2}}$.
הנגזרת הראשונה לא התאפסה לי והנגזרת השנייה התאפסה שם.
לפונקציה $g(x)=\frac{|x+1|}{x^2+x}$
אין זוגיות מוגדרת. הצבתי למשל $x=1$:
\[g(1)=\frac{\|1+1\|}{1^2+1}=\frac{2}{2}=1\]ומצד שני:
\[g(-1)=\frac{\|-1+1\|}{(-1)^2-1}=\frac{0}{0}\]בדיעבד זאת הייתה הצבה מוצלחת, כי הצבות אחרות עשויות להוביל לתוצאות שגויות, כמו שאפשר לראות מהגרף.
 |
|---|
| $g(x)$ |
פיתוח טיילור מסדר שני של הפונקציה $f(x)=e^{x^2-x+\cos(x)}$
אני חושב שטעיתי כאן. לדעתי סימנתי:
\[f(x)=e\left(1-x+\frac{x^2}{2}\right)\]בדיעבד התשובה ככל הנראה הייתה:
\[f(x)=e\left(1-x+x^2\right)\]מפתחים נגזרות ומציבים.
מה נכון לגבי הנקודות $x=0,x=-2$
הפונקציה למיטב זכרוני הייתה:
\[f(x)=\begin{cases} a^{x+2} & x <= -2 \\ 3x+7 & -2<x\le 0 \\ x^2-2x+4 & x>0 \end{cases}\]
רציפה בנקודה $x=-2$ ולא רציפה בנקודה $x=0$ (אי רציפות מסוג ראשון).
 |
|---|
| $f(x)$ |
אינטגרל מסוים: $\int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x}$
הצבתי $u=\ln x$ וקיבלתי:
\[du=\frac{dx}{x}\] \[\begin{aligned} \int \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x} &= \int \frac{du}{u \ln u} \end{aligned}\]אפשר להציב פעם נוספת $v=\ln u$ ולקבל:
\[\begin{aligned} \int \frac{du}{u \ln u} &= \int \frac{dv}{v} \\ &= \ln|v|+C \\ &= \ln|\ln u|+C \\ &= \ln|\ln \ln x|+C \end{aligned}\]ואז מחשבים את האינטגרל המסוים:
\[\begin{aligned} \int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x} &= \ln|\ln \ln x|\biggr|_{e^2}^{e^3} \\ &= \ln|\ln \ln e^3|-\ln|\ln \ln e^2| \\ &= \ln|\ln 3|-\ln|\ln 2| \end{aligned}\]התשובה הסופית הייתה פישוט של הביטוי האחרון, אולי $\ln\left(\frac{\ln 3}{\ln 2}\right)$.
שאלה 6: $\lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{3x}{x^{10}+1}\right)^{x^9+\frac{1}{x}}$
נחלק ב $x$ את הביטוי שבשבר ונקבל גבול מהצורה: $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}=\boxed{e^k}$.
\[\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{3x}{x^{10}+1}\right)^{x^9+\frac{1}{x}} &= \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac{3}{x^9+\frac{1}{x}}\right)^{x^9+\frac{1}{x}} \\ &= \boxed{e^3} \end{aligned}\]אפשר גם להוכיח את הצורה הזאת יחסית בקלות אם ממשיכים לפתח.
שאלה 7: $\int_{-1}^{2} \frac{t^2}{\sqrt{t+2}}dt$
הצבתי $u^2=t+2$ וקיבלתי:
\[\begin{aligned} t=u^2-2 \\ dt=2udu \end{aligned}\]מכאן:
\[\begin{aligned} \int \frac{t^2}{\sqrt{t+2}}dt &= \int \frac{(u^2-2)^2}{\cancel{u}}2\cancel{u}du \\ &= 2\int u^4-4u^2 + 4du \\ &= 2\left[\frac{u^5}{5}-\frac{4u^3}{3}+4u\right]\biggr|_{u=\sqrt{t+2}} + C \end{aligned}\]ואז מציבים חזרה את $t$ ומחשבים את האינטגרל המסוים:
\[\begin{aligned} \int_{-1}^{2} \frac{t^2}{\sqrt{t+2}}dt &= 2\left[\frac{\left(\sqrt{t+2}\right)^5}{5}-\frac{4\left(\sqrt{t+2}\right)^3}{3}+4\sqrt{t+2}\right]\biggr|_{-1}^{2} \end{aligned}\]התוצאה יצאה לי $\frac{26}{15}$.
שאלה 11: $y’’=-9y$
לא בדיוק זכורה לי. משהו בסגנון הבא:
עוד נתון:
\[\begin{aligned} y(x) &= A\cos(3x)+B\sin(3x) \end{aligned}\]אם ידוע $y(x=\frac{\pi}{3})=3$ ו-$y’(x=\frac{\pi}{3})=-3$ אז למה הפרטמטרים מתקבעים?
השאלה באמת לא זכורה לי, חושב שסימנתי תשובה עם $A$ ו$B$.
אם מישהו זוכר את השאלה מוזמנים לפנות ונעדכן את הפתרון.
שאלה 12: $x^2+y^2-6x+10y-30=0$
האם $y$ ניתן להצגה בעזרת $x$?
השלמתי את הריבועים וקיבלתי:
\[(x-3)^2+(y+5)^2=64\]
מכאן שזה מתאר מעגל שמרכזו $(3,-5)$ ורדיוסו 8.
אני לא בטוח לגבי חלק נוסף של השאלה, לגבי ביטוי של $y$ בעזרת $x$.