נוסחאות והגדרות

פיתוח הפונקציה לתור חזקות

לפונקציות ש״מתנהגות יפה״ (בנפנופי ידיים), מתקיים:

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+...\]

פיתוח לתור חזקות סביב הנקודה $x=x_0$

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...\]

כאשר $x=x_0$ קל לראות שכל החזקות מתאפסות והביטוי שמתקבל הוא למעשהֿ

\[f(x_0)=a_0\]

כאשר אני גוזר את $f$ לפי $x$, החזקה יורדת, וכל האיברים נופלים למעט המקדם השני:

\[f'(x_0)=a_1\]

באופן דומה, אם נגזור את הפונקציה פעמיים, נקבל:

\[f''(x_0)=2a_2 \Rightarrow a_2=\frac{1}{2}{f''(x_0)}\]

נמשיך אם הנגזרת השלישית ונקבל:

\[\begin{aligned} f'''(x_0) &= 2\cdot3a_3 + \dots + m(m-1)(m-2)a_m(x-x_0)^{m-3} + \dots \\ &= 2\cdot3a_3 \Rightarrow a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0) \end{aligned}\]

באופן כללי, אם נחזור על התהליך $m$ פעמים:

\[a_m = \frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}\]

מסקנות

  • רק אם הפונקציה נגזרת אינסוף פעמים בנקודה $x_0$ נוכל לחזור על התהליך

  • אם היא אכן מקיימת את התנאי הקודת, הפיתוח שלה מקיים:

\[\begin{aligned} f(x) =& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \\ &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+... \end{aligned}\] \[x_0 = 0 \Rightarrow f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]

דוגמאות לפונקיות ש״מתנהגות יפה״ כוללות, בין היתר:

  • הפולינומים
  • המערכיות
  • הטריגונומטריות

דוגמאות

$f(x)=e^x$

עבור פונקציית האקספוננת $f(x)=e^x$, מתקיים לכל נגזרת $f^{(n)}(x)=e^x$, ולכן: $f(0)=1, f’(0)=1, f’’ (0)=1, f’’’ (0)=1, \dots$ לכן, נקבל:

\[e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots + \frac{x^m}{m!}+\dots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]

אז בנקודה $x_0 = 0$ נקבל:

\[e = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots + \frac{1}{m!} + \dots\]

$f(x)=\sin x$

הנגזרות של פונקציית הסינוס הן:

\[f(x)= \sin (x) \quad f(0)=0\] \[f'(x)= \cos (x) \quad f'(0)=1\] \[f''(x)= -\sin (x) \quad f''(0)=0\] \[f'''(x)=-\cos (x),\dots \quad f'''(0)=-1\]

ומכאן התהליך חוזר על עצמו:

\[f''''(x)=sin(x) \quad f''''(0)=0\]

מכאן שנוכל לפתח את פונקציית הסינוס

\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\]

אם נפתח סביב $x_0 = 0$, נקבל:

\[f(x) = f(0) + \underset{1 \cdot x}{\underbrace{f'(0)(x-0)}} + \frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 + \underset{-\frac{1}{3!}x^3}{\underbrace{\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3}} + \dots\]

המספרים לאחר הגורמים הראשונים מאוד קטנים. מכאן נוכל להסיק שעבור $x\rightarrow 0$, מתקיים $\sin x \approx x$

זה גם לא מפתיע לאור הגבול $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

$f(x)=\cos x$

הנגזרות של פונקציית הקוסינוס הן:

\[f(x)= \cos (x) \quad f(0)=1\] \[f'(x)=-\sin (x) \quad f'(0)=0\] \[f''(x)=-\cos (x) \quad f''(0)=-1\] \[f'''(x)= \sin (x),\dots \quad f'''(0)=0\]

ומכאן התהליך חוזר על עצמו:

\[f''''(x)= \cos(x) \quad f''''(0)=1\]

אז אם $f(x)=f(x)+f’(0)x+f’(0)x^2+\dots$, נקבל:

\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\]

הערות לגבי זוגיות

אנחנו יודעים שפונקציית הקוסינוס זוגית, כלומר $\cos(-x) = \cos(x)$, אפשר לראות שגם בפיתוח לטור החזקות קיבלו רק חזקות זוגיות.

באופן דומה, פונקציית הסינוס היא אי-זוגית, כלומר $\sin(-x)=-\sin (x)$, ואכן בפיתוח שלה נותרות רק חזקות אי-זוגיות.

אם נסתכל בפונקציית ההיפרבוליות

\[\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dots\] \[\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots\]

נוכל לראות שהחיבור שלהן נותן את הפונקציה האקספוננציאלית $e^x$ בפיתוח לטור חזקות.

פיתוח סביב $x_0=1$ של הפונקציה הלוגריתמית $f(x)=\ln\left(x\right)$

אנחנו יודעים שפונקציית הלוגירתם אינה מוגדרת בנקודה 0, וכך גם נגזרותיה. אבל היא כן נוחה לפיתוח סביב 1:

\[f(x)= \ln x \quad f(1)=\ln\left(1\right)=0\] \[f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1} \quad f'(1)=1\] \[f''(x)=(-1)x^{-2} \quad f''(1)=-1\] \[f'''(x)=(-1)(-2)x^{-3} \quad f'''(1)=+2!\] \[f''''(x)=(-1)(-2)(-3)x^{-4} \quad f''''(1)=-3!\]

באופן כללי, האיברי ה-m מתקבל על ידי:

\[f^{(m)}(1)=(-1)^{m-1}(m-1)!\]

מכאן:

\[\underset{f(x)}{\underbrace{\ln\left(x\right)}}=\ln\left(1\right)+(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(x-1)^4}{4}+\dots\]

אם נבחר $x_0=2$

\[\ln\left(2\right)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots\]

אם נגדיר $y=x-1 \Rightarrow x=y+1$

\[\ln\left(y+1\right)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\dots\]

פיתוח פולינומים לטור חזקות

נשים לב שכל פולינום הוא הפיתוח שלו עצמו לטור חזקות. נסתכל לדוגמה בפולינום הבא:

\[f(x)=2x^3-3x^2+5x+6\]

הנגזרות שלו הן:

\[f'(x)=6x^2-6x+5\] \[f''(x)=12x-6\] \[f'''(x)=12\]

נניח שאנחנו רוצים לרשום אותו כביטוי בחזקות של $\left(x-1\right)$, כלומר $f(x)=a(x-1)^b+c(x-1)^d+\dots$. אז נוכל במקום לפתח לטור חזקות סביב $x_0=0$, לפתח סביב $x_0=1$:

\[f(1)=2-3+5+6=10\] \[f'(1)=6-6+5=5\] \[f''(1)=12-6=6\] \[f'''(1)=12\]

אז נוכל לרשום את הפולנום כך:

\[\begin{aligned} f(x)=&f(1)+&\frac{f'(1)}{1!}(x-1)+&\frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2+&\frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 \\ =& 10 +&5(x-1) +&3(x-1)^2 +&2(x-1)^3 \end{aligned}\]

מתי הטור מתכנס אל הפונקציה?

מתי מתקיים:

\[f(x) \overset{?}{=} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n\]

מדלגים על הקריטריונים להתכנסות. כן נביא קריטריון אחד: רדיוס ההתכנסות של הטור.

כאשר $f(x)=e^x$ או $f(x)=sinx$ או $f(x)=cosx$ או כל הפולינומים, רדיום ההתכנסות שלנות הוא $\inf$. באופן כללי, רדיוס ההתכנסות בנקודה $x=x_0$ מתקבל על ידי::

\[R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\]

או בניסוח אחר (כמו שנלמד בכתה):

\[\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{R}\]

רדיוס ההתכנות של $\ln\left(x\right)$

האיבר ה-n של פונקציית הלוגריתמית הוא:

\[a_n=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{n!}=\frac{(-1)^{n-1}}{n}\]

נחשב את הגבול:

\[\begin{aligned} \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right|} &= \lim_{n\rightarrow\infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} e^{\frac{\ln\left(\frac{1}{n}\right)}{n}} \\ &= \lim_{n\rightarrow\infty} e^{\frac{-\ln(n)}{n}} \\ &= e^{\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{-\ln(n)}{n}} \\ &= e^0 = 1 \end{aligned}\]

בדרך אחרת:

\[R=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right|}}=\frac{1}{\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}}=\frac{1}{1}=1\]

לסיכום, רדיוס ההתכנסות של פונקציית הלוגריתמית הוא 1.

טור טיילור

תהי $f$ פונקציה גזירה אינסוף פעמים ב-$x_0$, אז:

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]

כלומר

\[\begin{aligned} f(x)_{N\rightarrow\infty} &= lim\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \\ &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+... \end{aligned}\]

תרגול

פיתוח $\sinh x$ ו-$\cosh x$ לטור חזקות

  1. פתחו את הפונקציות $f(x) = \sinh x, g(x) = \cosh x$ לטור חזקות סביב הנקודה $x_0 = 0$ הראו שסכום שני סדרי החזקות לעיל מתלכד עם סדר החזקות של $h(x) = e^x$ סביב הנקודה $x_0 = 0$
\[\cosh (x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \ \ , \ \ \sinh (x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\]

הנגזרות של קוש הן:

\[\cosh (x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \Rightarrow \cosh (0) = 1\] \[\cosh'(x) = \frac{e^x+\left(-1\right)\cdot e^{-x}}{2}= \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sinh (x) \Rightarrow \cosh'(0) = 0\] \[\cosh''(x) =\frac{e^x-(-1)\cdot e^{-x}}{2}= \frac{e^x+e^{-x}}{2} = \cosh (x) \Rightarrow \cosh''(0) = 1\] \[\sinh ^{(n)}(x) = 0 \text{ for odd } n\] \[\cosh ^{(n)}(x) = 0 \text{ for even } n\] \[\begin{aligned} g(x) &= \cosh(x) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cosh^{(n)}(0)}{n!}x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{aligned}\] \[\cosh^{n}(x) = \begin{cases} \sinh (0) = 0, & n \mod{2} = 1, \\ \cosh (0) = 1, & n \mod{2} = 0. \end{cases}\] \[\begin{aligned} f(x) &= \sinh(x) \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sinh^{(n)}(0)}{n!}x^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ &= \cosh(x) + \sinh(x) \end{aligned}\]

פיתוח $\tan^{-1} x$ לטור חזקות

  1. פתחו את $f(x) = \tan^{-1}\left(x\right)$ בחזקות של $x$. היעזרו בזה כדי לחשב בקירוב (ברמת דיוק גרועה למדי) את הערך של $\pi$.

נרשום לנו את הנגזרות של $f(x) = \tan^{-1}\left(x\right)$: \(f(x) = \tan^{-1}\left(x\right) \quad f(0) = 0\)

\[f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \quad f'(0) = 1\] \[f''(x) = \frac{\left(0 \cdot \left(1+x^2\right)\right) - 1 \cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{-2x}{(1+x^2)^2} \quad f''(0) = 0\] \[f'''(x) = \frac{-2(1+x^2)^2 + 4x^2\left(1+x^2\right)}{(1+x^2)^4} \Rightarrow f'''(0) = -2\] \[\begin{aligned} tan^{-1(4)}(x) &= \frac{\left(-4x(1+x^2)^2 + 8x(1+x^2)\right)\left(1+x^2\right)^{4}-8x(1+x^2)^3(-2(1+x^2)^2 + 4x^2\left(1+x^2\right))}{(1+x^2)^8} \\ &\Rightarrow f^{(4)}(0) = 0 \end{aligned}\]

וכך הלאה. נקבל:

\[\tan^{-1}(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}(-1)^{n+1}}{2n-1}\]

רישום פולינום כביטוי של $(x-1)$

  1. נתון הפולינום $P_3(x) = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5$. רשמו אותו בחזקות של: א. $x-1$

נפתח כטור טיילור בנקודה $x_0=1$ \(P_3'(x) = 6x^2 + 6x + 4 \Rightarrow P_3'(1) = 16\)

\[P_3''(x) = 12x + 6 \Rightarrow P_3''(1) = 18\] \[P_3'''(x) = 12 \Rightarrow P_3'''(1) = 12\]

נגזרות גבוהות יותר מתאפסות.

\[\begin{aligned} P_3(x) =& P_3(1) + P_3'(1)(x-1) + \frac{P_3''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{P_3'''(1)}{3!}(x-1)^3 \\ =& 14 + 16(x-1) + 9(x-1)^2 + 4(x-1)^3 \\ =& \boxed{2(x-1)^3 + 9(x-1)^2 + 16(x-1) + 14} \end{aligned}\]

הראו $\cosh(ix) = \cos(x)$ ו-$e^{\pm ix} = \cos(x) \pm i\sin(x)$

  1. היעזרו בשאלה הראשונה (ופיתוח של פונקציות הסינוס והקוסינוס לסדרי חזקות ב-x ששימש בכיתה) והראו:

א. $\cosh(ix) = \cos x$ ג. $e^{\pm ix} = \cos x \pm i\sin x$

\[\cosh(ix) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} \underbrace{=}_{i^{2n} = (i^2)^n=(-1)^n}\] \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = \cos(x)\]

סעיף ב׳:

\[\begin{aligned} e^{ix} =& \, \cosh(ix) + \sinh(ix) \\ &= \cos(x) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(ix)^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ &= \cos(x) + i\sum_{n=1}^{\infty} \frac{i^{2n-2}x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ &= \cos(x) + i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(i^2)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!} \\ &= \cos(x) + i \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}}_{\sin x} \\ &= \cos(x) + i\sin(x) \end{aligned}\]