דף נוסחאות - בוחן אמצע במתמטיקה
נוסחאות בסיסיות
נוסחת השורשים
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]חוקי חזקות
\[a^0 = 1, \quad a^1 = a, \quad a^{-1} = \frac{1}{a}, \quad a^{m+n} = a^m \cdot a^n\] \[(a^m)^n = a^{mn}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad a^m \cdot b^m = (ab)^m\] \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad \frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\]
חוקי לוגריתמים
\[e^{\ln(x)} = x, \quad \ln(e^x) = x, \quad a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \quad (a^x)^y = a^{xy}\] \[\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y), \quad \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y), \quad \ln(x^n) = n \ln(x)\] \[\ln(1) = 0, \quad \ln(e) = 1, \quad \ln(e^x) = x, \quad \ln(e^{x^2}) = x^2\]
טריגונומטריה
זהויות בסיסיות
\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1, \quad \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\] \[\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x), \quad \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\]נוסחאות חצי זווית
\[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}, \quad \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}\]טבלת זוויות מיוחדות
זווית | סינוס | קוסינוס | טנגנס |
---|---|---|---|
0° | 0 | 1 | 0 |
30° | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
45° | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 |
60° | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) |
90° | 1 | 0 | ∞ |
פונקציות היפרבוליות
\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\] \[\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1, \quad 1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)\]
גבולות חשובים
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\]