דף נוסחאות - בוחן אמצע במתמטיקה

נוסחאות בסיסיות

נוסחת השורשים

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

חוקי חזקות

\[a^0 = 1, \quad a^1 = a, \quad a^{-1} = \frac{1}{a}, \quad a^{m+n} = a^m \cdot a^n\] \[(a^m)^n = a^{mn}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad a^m \cdot b^m = (ab)^m\] \[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad \frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\]

חוקי לוגריתמים

\[e^{\ln(x)} = x, \quad \ln(e^x) = x, \quad a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \quad (a^x)^y = a^{xy}\] \[\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y), \quad \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y), \quad \ln(x^n) = n \ln(x)\] \[\ln(1) = 0, \quad \ln(e) = 1, \quad \ln(e^x) = x, \quad \ln(e^{x^2}) = x^2\]

טריגונומטריה

זהויות בסיסיות

\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1, \quad \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\] \[\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x), \quad \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\]

נוסחאות חצי זווית

\[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}, \quad \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}\]

טבלת זוויות מיוחדות

זווית סינוס קוסינוס טנגנס
0 1 0
30° \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
45° \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 1
60° \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{3}\)
90° 1 0

פונקציות היפרבוליות

\[\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\] \[\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1, \quad 1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)\]

גבולות חשובים

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\]

גרפים

פונקציות היפרבוליות

גרפי גבולות